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『壹』 獨立測角網的幾何條件有哪三種類型

摘要：本文主要針對具體的例題來討論測角三角網中條件方程的如何列立，以及提供找尋條件方程的方法與區分條件方程的類型。通過四個例題，具體地分析了利用條件平差進行解算時必要觀測數、各類條件方程個數的確定。該文中的分析思路相對靈活，不拘泥於具體算例，具有較好的適用性和靈活性。

關鍵詞：測角三角網;條件方程;多餘觀測值;必要觀測值;圖形條件;極條件

0 引言

在進行相關的測量作業時，對所要求的觀測數據進行測量平差是測量工作中不可缺失的一部分。如果想要進行正確的平差計算，需要操作者可以列出該測量作業正確平差解算的函數模型。在對它們進行列立之前，需要先進行必要觀測數和條件方程的確定。對於必要觀測數的確定，眾多學者進行了相關研究[1，3-5]。對於各類條件方程的列立，一些學者也進行了相應的研究[5]。本文在之前成果的基礎上，針對必要觀測數的確定以及各類條件方程的確定進行了相關的分析和探究。本文主要研究關於測角三角網的必要觀測數據的確定以及各類條件方程的確定。

1 理論基礎

在進行平面控制時可供操作者選擇的網型有很多，如三角網，導線網，GNSS（CORS）網等。隨著科技的發展，GNSS在日常的使用中越來越普遍，專門的三角網已經不經常使用，但是在學習測量平差的過程中，三角網仍然是學生需要掌握的最為基本的一種網型。根據一般要求，大多數三角網的分類是依據觀測值的不同來劃分的，通常可將它們分成測邊三角網、測角三角網和邊角同測網。同時，由於條件方程存在多種不同的類型，例如圖形條件（內角和條件）、圓周條件（水平條件）、極條件、方位角條件、固定邊條件等。那麼在三角網中進行條件平差時就需要進行判斷到底存在那些類型的條件方程，這時候就需要判斷一下三角網中都含有哪些基本幾何圖形了。在三角網中一般包括的基本幾何圖形包括單三角形、中點多邊形、大地四邊形和扇形。對於任何一個三角網，都可以視作由基本幾何圖形中的一個或若干個組成。在文獻[1，5]中，在觀測值充足的情況下，各基本幾何圖形的條件方程類型如下。

（1）對於圖形條件：三角網進行測量時必定會包含單三角形，如果這個三角網中單三角形的三個內角都進行了觀測，同時得到了必要的數據，那麼就存在圖形條件;只要在這個三角形中存在一個內角沒有得到充分的觀測，就無法列出圖形條件。

（2）對於圓周條件：如果三角網中含有中點多邊形，那麼就有可能存在圓周條件;具體能否列出圓周條件，還得看中點多邊形的中點上所有角度是否存在（不管是直接觀測的還是間接計算得到的，都可以視作存在）;如果存在中點多邊形且中點上的所有角度都存在，那麼對於該圖形便就可以列出圓周條件;否則，不可以。例如圖1中就有一個以點P4為中點的中點四邊形或中點三邊形，所以肯定會存在圓周條件。

（3）對於極條件：如果所要面對的三角網中含有大地四邊形、扇形、中點多邊形，那麼該圖形中存在極條件的可能性就很高;具體能否列出極條件，還得看這些基本幾何圖形中的所觀測的角度個數是否足夠，如果足夠，就可以列出;否則，不可以。注意：在判斷極條件時需要考慮該圖形中以哪個點作為極點來進行分析，在列極條件方程時該極點所在的角度就可以不用到方程中。

（5）對於固定邊條件：如果三角網中有兩條以上的邊的邊長已知，則可以列出固定邊條件;否則，不可以。

（6）再強調一下，對於條件方程之間的獨立性判斷是最難掌握的，也是最容易出錯的地方。關於這一點沒有統一固定的方法，通常的經驗做法是看一下三角網中所含的幾種基本幾何圖形之間的獨立性情況，感興趣的讀者可以參考一些相關文獻。

2 確定步驟

對於該類問題，做一下實現步驟：

（1）首先確定觀測值是什麼觀測值，比如是角度還是邊長，然後確定是測角三角網還是測邊網以及邊角網。

（2）確定已知數據為何種類型的數據，比如點坐標、邊長、角度（包括水平角和方位角）。

（3）確定已知數據是否可以作為方程的起算數據。起算數據一般是用來幫助確定該三角網的網型是否起到作用的數據。詳細參考文獻[1，5]。

（4）然後再看一下此幾何圖形是由哪些基本幾何圖形組成，然後依據各組成基本幾何圖形的情況來進行確定。詳細的解題過程的通過看下面的實例分析來了解。

3 實例分析

如圖1至圖4所示，求出各測角三角網按條件平差時條件方程的總數及各類條件的個數，其中Pi為待定點，為已知邊，為已知方位角。

此類題型在測量平差中非常具有典型性，掌握了該題後，關於必要觀測數和多餘觀測數的判斷以及條件方程的列立就基本迎刃而解，可以方便讀者解決測角三角網中條件平差方程列立的基本問題。

3.1 必要觀測數的確定

以圖1為例，分兩種思路進行分析：

思路一：

（1）首先確定該幾何模型是一個測角三角網;

（2）該圖形的已知數據有兩個已知點的坐標和兩個已知方位角，以及一條已知邊;由於已知的起算數據大於4，所以可以判斷出來該網是用來確定網中待定點的坐標數據的;

（3）為了可以得到圖形中待定點的坐標數據，這些已知的數據都是可以用來分析計算的，因此它們作為起算數據來輔助我們之後的數據處理分析（請注意：已知的數據未必是起算的數據，但起算的數據一定是已知的數據）。

（4）為為了確定圖形中待定點的坐標，只需要A、B兩點的坐標數據便可以做到。該圖中一共有4個待定點，即4×2=8個待確定數據。要確定圖形中的這8個數據，那我們一般是需要確定8個觀測值來輔助計算;但是題中已有2個起算方位角與1條已知邊輔助確立數據，這樣在8個觀測值中減去3個即可，即必要觀測數t=8-3=5 ;

（5）綜上，多餘觀測數r=n-t=16 。

思路二：依據於公式t=2p-q-4來計算[6]，其中，p是所要分析的網中所有點的數目，q是所要分析的網中多餘的獨立的起算數據的數目。首先要明確一點是該公式t=2p-q-4是針對於測角三角網的。可得該網共有點個數p=6，q=3（這個數怎麼來的？這樣判斷：A、B兩點是必要的起算數據，方位角就是多餘的起算數據，而且獨立），從而可得t=2×6-3-4=5 。

3.2 條件方程類型的確定

3.2.1 對於圖1的分析思路

多餘觀測數r為16。下面確定其各類條件方程。

思路一：

（1）通過已知條件可以了解到該網是一個測角三角網，根據已知數據的個數以及類型，可知該網是為了求得待定點的坐標。

（2）該圖形可看作是一個以P4為中點、點P3P2AB為外點的中點四邊形和一個單△P2P1A的組合圖形（忽略點B與點P1、點B與點P2、點P1與點P3之間的連線）。觀察發現，該圖形中所有的水平角都進行了觀測。為了可以更好地確定其獨立性，我們需要先確定圖形條件，再來輔助確定其他的條件。

（3）根據中點四邊形的特點，其包含4個圖形條件、1個圓周條件和1個極條件;對於單△P1P2A，可以確定1個圖形條件;

（4）然後，依次連結點B與點P1、點B與點P2、點P1與點P3，會形成3個新的單三角形，從而又確定3個圖形條件;注意，雖然也形成了△BP1P2，但是它的圖形條件與其他的是相關的。

（5）連結三組點後，除了形成單三角形，還形成其他基本幾何圖形，如先連結點P1與點P3，會形成3-扇形P2-P1AP4P3，由此確定1個極條件;再連結BP2，會形成以P4為中點，BP2P3為外點的中點3邊形，由此確定1個極條件;再連結BP1，會形成大地四邊形ABP2P1，由此得1個極條件;

（6）進一步，根據已知的多餘起算數據，由於邊AB和邊P2P3均邊長已知，由此可列出1個固定邊條件;

（7）依據已知邊AB的方位角與α1可建立1個固定角條件;

（8）依據已知邊AB的方位角與α2可建立1個固定角條件;

（9）綜上所述，通過分析可以得到8個圖形條件、1個圓周條件、4個極條件、1個固定邊條件和2個固定角條件用於條件平差。

思路二：

（1）可將整個圖形看作由3-扇形P2-P1AP4P3和單△ABP4和單△BP3P4組合而成，由3-扇形可確定4個圖形條件和1個極條件，由兩個單三角形可確定2個圖形條件;

（2）然後連結點BP2和點BP1，可增加2個圖形條件;連接兩組點後，形成了新的單三角形BP1P2，雖然增加1個圖形條件，但該圖形條件與前面的圖形條件相關;此時該圖形中圖形條件的總數確定完畢，為8個;

（3）連結BP2後，會形成大地四邊形ABP2P1，由此可得1個極條件;還形成以P4為中點，BP2P3為外點的中點3邊形，由此得1個極條件和1個圓周條件;

（4）連結BP1後，形成大地四邊形BAP1P2，可得1個極條件;

（5）根據已知的起算數據，由已知邊AB和邊P2P3可建立1個固定邊條件;

（6）依據已知邊AB的方位角與α1可建立1個固定角條件;

（7）依據已知邊AB的方位角與α2可建立1個固定角條件;

（8）綜上分析，可確定8個圖形條件、1個圓周條件、4個極條件、1個固定邊條件和2個固定角條件用於條件平差。

3.2.2 對於圖2的分析思路

（1）首先確定該幾何模型是一個測角三角網;

（2）存在兩個已知點A、B;可知該網是為了確定待定點的坐標。

（3）為了確定網中待定點的坐標數據，需要至少4個起算數據來輔助運算;而兩個已知點的個數剛好滿足條件，所以不存在多餘的起算數據，q=0，將其代入測角網確定必要觀測數的方程可得到t=2×6-0-4=8，即必要觀測數為8。多餘觀測數r=n-t=10。確定了條件方程的個數，通過分析圖形條件與已知數據的關系可得出條件方程的類型。

（4）該圖形可看作是由基本幾何圖形大地四邊形ABCD和單△ABE與單△BEF組合而成。由大地四邊形ABCD可以得到3個圖形條件和以及1個極條件;同樣在分析兩個單三角形時可以得到2個圖形條件;在此基礎上，連結點B和點E、點D和點F，由此可再確定2個圖形條件;同時，在3-扇形C-DAEB和3-扇形B-DAEF中，可再確定2個極條件。

（5）綜上分析，可以得到總觀測數n=18，必要觀測數t=8，多餘觀測數r=10;即10個條件方程，其中有7個圖形條件，3個極條件，這些條件方程即可用於平差計算。

3.2.3 對於圖3的分析思路

（1）首先確定該幾何模型是一個測角三角網;

（2）存在兩個已知點A、B;可知該網是為了確定待定點的坐標。

（3）為了得到待定點的坐標數據，需要至少4個起算數據來輔助計算;而兩個已知點的坐標剛好滿足條件，所以不存在多餘的起算數據，q=0，將其代入測角網確定必要觀測數的方程可得到t=2×5-0-4=6，即必要觀測數為6。多餘觀測數r=n-t=15-6=9。確定了條件方程的數量，之後分析圖形條件與已知數據的關系，嘗試得出條件方程的類型。

（4）該圖形可看作是由一個基本幾何圖形3-扇形P2-P1ABP3組成（忽視點B和點P1、點A和點P2間連線）。由於每個角度都進行了觀測，所以由3扇形可確定4個圖形條件和1個極條件;然後，連結點B和點P1、點A和點P2，可再確定2個圖形條件;然後，再依據大地四邊形ABP3P2和大地四邊形BAP1P2，可確定2個極條件;

（5）綜上分析，該題總觀測數n=15，必要觀測數t=6，多餘觀測數r=9;即9個條件方程，其中有6個圖形條件，3個極條件，這些條件方程即可用於平差計算。

3.2.4 對於圖4的分析思路

（1）首先確定該幾何模型是一個測角三角網;

（2）存在兩個已知點A、B;可知該網是為了確定待定點的坐標。

（3）為了得到待定點的坐標數據，需要至少4個起算數據來輔助計算;而兩個已知點的坐標剛好滿足條件，所以不存在多餘的起算數據，q=0，將其代入測角網確定必要觀測數的方程可得到t=2×6-0-4=8，即必要觀測數為8。多餘觀測數r=n-t=13-8=5。確定了條件方程的數量，之後分析圖形條件與已知數據的關系，嘗試得出條件方程的類型。

（4）該圖形可看作由大地四邊形P1AP2P3和大地四邊形P1BP4P3組合而成（忽視點B和點P2間連線）。但是，要注意點P2和P4所在點處角度未觀測，因此，可分別以P2、P4為極點，確定2個極條件方程;且由這兩個大地四邊形，只能確定2個圖形條件。

（5）然後，連結點B和點P2，可得到大地四邊形P1P2P3B，從而又可確定1個極條件（以P2為極點）。

（6）綜上分析，該題總觀測數n=13，必要觀測數t=8，多餘觀測數r=5;即5個條件方程，其中有2個圖形條件，3個極條件，這些條件方程即可用於平差計算。

4 總結

條件方程的確定在測量平差中具有重要的地位，條件平差是一種重要的平差方法。採用條件平差進行解算，必須要先正確確定其必要觀測數、多餘觀測數、各類條件方程的個數，才能正確地對測量問題進行平差解算。其對於網型相對簡單一點的幾何圖形，具有重要作用。但是，對於網型稍微復雜一點的幾何圖形，條件平差確實不是一種優秀的方法，此時，往往採用間接平差等其他平差方法來求解。但是，無論如何，條件平差都是一種重要的不可忽視的平差方法。本文中給出的分析，思路靈活，一個問題可通過不同路線進行解析，因此，可以很好地進行互相驗證和推導。

『貳』 初中數學證明題，△ABC如圖，△ABP、△ACQ、△BCR都是等邊三角形，問四邊形APRQ是不是平行四邊形，並證明

是，
∵△ABP、△ACQ、△BCR都是等邊三角形
∴AB=BP=PA AC=CQ=AQ BC=BR=RC
又∵等邊三角形每個內較為60°
∴∠ABC=∠PBR
∠ACB=∠QCR
∴在△ABC,△PBR中
AB=PB
∠ABC=∠PBR
BC=BR
∴△ABC≌△PBR（SAS）
∴AC=PR
在△ABC,△QRC中
AB=QR
∠ACB=∠QCR
BC=RC
∴△ABC≌△QRC（SAS）
∴RQ=AB
∵PR=AQ RQ=PA
∴四邊形APRQ是平行四邊形

『叄』 如圖已知在△abc內∠bac=60°∠c=40°pq分別在bcca上並且apbq分別是∠bac∠abc的角平分線求證bq+aq=ab+bp

過P作PR∥BQ交AC於R

∵∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-60°-40°=80°，BQ平分∠ABC，∴∠QBC=80°/2=40°

於是∠QBC=∠C，∴BQ=QC

∵PR∥BQ，∴∠RPC=∠QBC=40°，∴∠RPC=∠C，∴RP=RC

∴∠QRP=∠RPC+∠C=80°，於是∠ARP=∠ABC

又∵∠BAP=∠CAP，AP為公共邊，∴△ABP≌△QRP

∴AB=AR、BP=RP=RC

於是BQ+AQ=CQ+AQ=AC=AR+RC=AB+BP